Einfach-gerade Magische Quadrate

---

Definition		Magische Quadrate, deren Kantenlänge durch 2, aber nicht durch 4 teilbar ist, werden als einfach gerade bezeichnet.

Mit der 1917 von Richard Strachey erdachten Methode ist ein unkompliziertes Verfahren zur Konstruktion einfach gerader magischer Quadrate verfügbar. Tatsächlich gab es bereits vor Strachey systematische Verfahren, darunter auch die Methode der Rahmenquadrate.

Die Methode von Kinner(us)

Gaspar Schott gibt in seinem Werk Technica Curiosa die Methode wieder, die ihm vom seinem Korrespondenten Hactenus Kinnerus vorgestellt wurde. Für ungerade magische Quadrate benutzt Kinner sinngemäß das Verfahren de LaLoubères, während für gerade Quadrate eine Vertauschungsmethode verwendet wird. Speziell die Quadrate der Kantenlängen 6 und 10 sollen hier vorgestellt werden. Kinner geht dabei von einem Quadrat aus, das anfangs in der natürlichen Reihenfolge befüllt wird. Anschließend wird ein Teil der Zelleninhalte paarweise vertauscht¹:

		a   g g m d   b   l e   k   c f     k h f c h   i e   l b i d       m a
Durch paarweises Vertauschen gemäß dem Buchstabenschema wird das magische Quadrat erzeugt.

Für das Quadrat der Kantenlänge 10 geben Kinner und Schott dieses Schema an:

		a D   I m m I O P f n b F   o o M N g n   p c G   K L h p   B   q d H I i q     C E   r e k r     Q C E t s k e s t   Q B w u i H I d u w   y x h G   K L c x y z g F       M N b Z f D     A A   O P a
Auch hier werden Zellinhalte paarweise vertauscht, um ein magisches Quadrat zu erzeugen

Während das von Kinner angegebene Verfahren für doppelt-gerade magische Quadrate allgemein anwendbar ist, betrachten die beiden hier gezeigten Methoden lediglich Spezialfälle, die sich nicht systematisieren lassen.

 Das Verfahren von Strachey

1917 teilte Richard Strachey seine Konstruktionsmethode für einfach gerade magische Quadrate W.W. Rouse Ball mit. Dieser stellte sie in seinem Klassiker Mathematical Recreations der Öffentlichkeit vor.

Ähnlich wie beim Verfahren für doppelt gerade Qadrate wird das leere Quadratschema zunächst unterteilt. Sei n die Kantenlänge des Quadrates. Teile das Quadrat in Viertel, wobei die Sektoren jeweils Magische Quadrate der Kantenlänge k = n/2 sind.

Als Konstruktionsmethode für die Teilquadrate wird die von LaLoubère verwendet.

Man beachte die Anordnung der Sektoren A bis D! Sie ist z.B. bei Rouse Ball unrichtig wiedergegeben!

Beispiel: Konstruiere ein Quadrat der Kantenlänge 6 gemäß der oben genannten Vorschrift.

Bedingt durch das Konstruktionsverfahren ist dieses 6 ´ 6-Quadrat schon nahezu magisch. So sind alle Spaltensummen bereits richtig mit m = 111, während die Zeilen noch korrigiert werden müssen.

• Die Zeilen der oberen Hälfte des Quadrates haben Summen von 84
• die Zellen der unteren Zeilen addieren sich zu jeweils 138
• Die Diagonalen haben die Summen 57 und 165

Durch Vertauschen geeigneter Zellenpaare innerhalb derselben Spalte sollen die oberen und unteren Zeilensummen auf die magische Konstante gebracht werden. Die Eckfelder müssen zusätzlich so angeordnet werden, daß auch die Diagonalen die magische Summe aufweisen.

Naheliegend ist folgende Betrachtung:

• Die Zeilensumme der ersten Zeile ist 84. m - 87 = 111 - 84 = 27. Für die Summe in der vierten Zeile gilt 138 - 111 = 27. Werden jetzt innerhalb der ersten Spalte die Zellen der Zeilen 1 und 4 vertauscht, dann bleibt die Spaltensumme konstant, während sich die Summe der Zeile 1 zu 35 + 1 + 6 + 26 + 19 + 24 = 111 = m ergibt. auch die Summe der vierten Zeile wird zu m = 111 = 8 + 28 + 33 + 17 + 10 + 15. Damit sind zwei Zeilen des Quadrates magisch geworden.
• Durch das Ändern der ersten Spalte hat sich die Summe der Hauptdiagonalen zu 35 + 5 + 2 + 17 + 14 + 11 = 84 erhöht. Da nun auch die Summe der Zellen in der zweiten Zeile 84 ist, sollte in der zweiten Spalte ein geeignetes Tauschelement eingestzt werden. Dies findet sich in der Zeile 5. Folglich werden die Eintäge 5 und 32 vertauscht. Dadurch werden die Hauptdiagonale und die Zeilen 2 und 5 magisch
• Analog folgt die Argumentation für den Tausch der Elemte der ersten Spalte der Zeilen 3 und 6. Dieser Tausch führt dazu, daß die Gegendiagonale und die Zeilen 3 und 6 auf die Summe m = 111 gebracht werden.
• Da die Vertauschungsschritte ohne Wirkung auf bereits richtiggestellte Zeilen und die Hauptdiagonale sind, kann systematisch von oben nach unten vorgegangen werden.

Im zweiten Schritt nach dem anfänglichen Befüllen der vier Teilquadrate werden deshalb einzelne Elemente nach folgendem Schema ausgewählt und zwischen den übereinanderstehenden Teilquadraten paarweise ausgetauscht:

Schema für 6 ´ 6		Schema für 10 ´ 10		Schema für 14 ´ 14

Damit ergibt sich im Beispiel dieses Magische Quadrat:

Beachte die vertauschten Felder (rot hervorgehoben)!

Wie das Schema systematisiert wird, zeigen die beiden nächsten Diagramme. Zunächst werden erneut die Eigenschaften des Ausgangsquadrates betrachtet:

• Die Spaltensummen sind jeweils 505 = m.
• Die oberen Zeilensummen sind 380
• Die unteren Zeilen haben jeweils die Summe 630.
• Die Diagonalen haben die Summen 255 und 755.

Um die oberen und unteren Zeilen richtigzustellen müssen jeweils Zellen gleicher Spalten paarweise so vertauscht werden, daß in Summe die oberen Zeilen 505 - 380 = 125 Zuwachs haben, während die unteren um 630 - 505 = 125 vermindert werden müssen. Zugleich müssen bei den Diagonalen 505 - 255 = 250 ausgeglichen werden. Diese Summenwerte lassen sich durch das vorhin angegebene Auswahlschema bilden.

10 ´ 10 Quadrat vor der Vertauschung		10 ´ 10 Quadrat nach der Vertauschung

Die einzige Schwierigkeit, die die Konstruktion dieser Quadrate bereitet, liegt darin, beim Vertauschen die "Buchführung" in Ordnung zu halten. So ist im o.g. Klassiker der Unterhaltungsmathematik von W.W. Rouse Ball nicht nur im Grundschema, sondern auch im 10 ´ 10-Quadrat ein Fehler unterlaufen.

Wieso diese Vertauschmethode funktioniert, und wie das Vertauschungsschema begründet ist, untersucht der nächste Abschnitt.

 Theorie²

Sei n eine einfach gerade Zahl. Ein leeres Quadratschema wird anhand der von Strachey angegebenen Methode in vier Blöcke der Kantenlänge k = n/2 zerlegt und gemäß dem Verfahren von de LaLoubère befüllt.

Summen der Spalten, Zeilen und Diagonalen

Aus der Konstruktionsweise errechnen sich die Gesamtsummen und magischen Summen der Teilblöcke sich wie folgt :

Sektor	Inhalt	Gesamtsumme	Magische Summe
A	Werte 1 bis k2	k2 + k4 2	k + k3 2
B	Werte k2 + 1 bis 2k2	k4 +  k2 + k4 2	k3 +  k + k3 2
C	Werte 2k2 + 1 bis 3k2	2k4 +  k2 + k4 2	2k3 +  k + k3 2
D	Werte 3k2 + 1 bis 4k2	3k4 +  k2 + k4 2	3k3 +  k + k3 2

Die Magische Summe des Gesamtquadrates der Kantenlänge n ist bekanntlich

mn =  n + n3 2

Nach Einsetzen von n = 2k ergibt sich die magische Summe bezüglich k zu

mn =  n + n3  =  2k + (2k)3  =  2k + 8k3  = k + 4k3 2 2 2

Im nächsten Schritt werden die möglichen Fälle zur Bildung der Spalten,- Zeilen- und Diagonalensummen betrachtet.
Die Spaltensummen des Gesamtquadrates sind:

1. Fall: Spalten aus A, D: mAD =

k + k3 2

+

3k3 +  k + k3 2

=

3k3 + 2 (  k + k3  ) 2

=

4k3 + k

2. Fall: Spalten aus B, C: mBC =

k3 +  k + k3 2

+

2k3 +  k + k3 2

=

3k3 + 2 (  k + k3  ) 2

=

4k3 + k

Die Zeilensummen ergeben sich zu:

1. Fall: Zeilen aus A, C: mAC =

k + k3 2

+

2k3 +  k + k3 2

=

2k3 + 2 (  k + k3  ) 2

=

3k3 + k

2. Fall: Zeilen aus B, D: mBD =

k3 +  k + k3 2

+

3k3 +  k + k3 2

=

4k3 + 2 (  k + k3  ) 2

=

5k3 + k

Die Diagonalen ergeben sich zu:

1. Fall; Diagonalen aus A, B: mAB =

k + k3 2

+

k3 +  k + k3 2

=

k3 + 2 (  k + k3  ) 2

=

2k3 + k

2. Fall: Diagonalen aus C, D: mCD =

2k3 +  k + k3 2

+

3k3 +  k + k3 2

=

5k3 + 2 (  k + k3  ) 2

=

6k3 + k

Mithin sind die Spaltensummen m_AD und m_BC, wie vorhin behauptet, bereits korrekt in der magischen Summe m bezüglich des Gesamtquadrates. Die Zeilen und die Diagonalen haben keine korrekten magischen Summen und müssen deshalb durch Vertauschungen ausgeglichen werden, die die Spaltensummen invariant lassen.

Vertauschung von Zellen

Wir betrachten eine aus Block A beliebig herausgegriffene Zelle und die korrespondierende Zelle aus Block D. Die beiden Zellen haben bezogen auf den jeweiligen Block, in dem sie sich befinden, dieselben Koordinaten. Sei a der Inhalt einer Zelle in A mit den Koordinaten (x,y). Der Inhalt der Zelle mit denselben Koordinaten in D ist damit 3k² + x. Die Differenz d₁ zweier solcher Zellen ist stets:

d1 = 3k2 + x - x = 3k2

Analog gilt für die Differenz d₂ zweier korrespondierender Zellen aus B und C:

d2 = 2k2 + x - (k2 + x) = k2

Stracheys Vertauschungsmethode zielt darauf ab, den Mangel bzw. Überschuß der Zeilensummen bzgl m durch eine Summe von d₁ und d₂ auszudrücken, die genau der benötigten Differenz entspricht.

Da in jedem der Teilfälle (Spalten, Zeilen, Diagonalen) lediglich das Erzielen der korrekten Gesamtsumme m nötig ist, können auch andere Spaltenpaare zu Vertauschung verwendet werden, als die im ursprünglichen Verfahren genannten.

weiter im Text