Primzahlen und alles, was sich darum rankt (und das ist fast alles in der Algebra) sind ein höchst faszinierendes Gebiet. Angefangen vom Berechnen der Werte, Prüfen, ob irgendwelche natürlichen Zahlen prim sind, bis hin zu Anwendungen in der Kryptologie, sind Primzahlen unentbehrlich - und unvermeidbar. Zunächst ein paar Bemerkungen zum Thema.
| Definition: | Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Die 1 ist keine Primzahl. |
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Es gibt, wie ein einfaches Durchmusteren der natürlichen Zahlen zeigt, einige Primzahlen. Die ersten sind:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 ...
Die erste Frage, die sich aufdrängt, ist: wieviele Primzahlen gibt es? Gibt es irgendeine größte Primzahl? Durch das systematische Überprüfen der natürlichen Zahlen läßt sich diese Frage nicht beantworten, denn es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Eine Beschränkung auf eine bestimmte Obergrenze ist demnach unzulässig. Hier muß subtiler vorgegangen werden. Euklid schaffte die Beantwortung der Frage mit einem sehr eleganten Beweis, der auch heute noch als einer der schönsten klassischen Beweise der Mathematik gilt; ein Klassiker eben.
| Satz: | Jede natürliche Zahl ³ 2 hat eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren. | |
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| Anmerkung: | Die 1 hat als Folge der Primzahl-Definition die eindeutige Darstellung 1 |
Richtig gelesen! Es gibt nicht nur die berühmte Kreiszahl p, sondern auch die in der Algebra und Zahlentheorie gebräuchliche Funktion p. Wir werden sie aus Gründen der Bequemlichkeit gelegentlich benutzen:
| Definition: | Sei n eine natürliche Zahl. Dann bezeichnet p(n) die Anzahl der Primzahlen p £ n. | |||||||||||||||||||||||||
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| Beispiele: |
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Wenn man die Häufigkeit der Primzahlen in gleich breiten Intervallen betrachtet, kommt man rasch zur Erkenntnis, daß die Primzahlen zu den höheren Werten hin seltener werden. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, kann der Abstand zwischen ihnen beliebig groß werden (® Beweis). Doch wie verteilen sich die Primzahlen gesamthaft? Gauß formulierte bereits eine Behauptung zur Primzahlverteilung. Die Mathematiker Tschebyscheff und Erdös fanden dazu Beweise, die bestätigen, daß:
xxxxx
Die Aufstellung einer Tabelle zeigt, daß diese Aussage bereits für relativ kleine Zahlenintervalle recht gut zutrifft:
| n | p(n) | xxx | Differenz |
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| 10 | 4 | 3.99 | 0.01 |
| 100 | 4 | 3.99 | 0.01 |
| 1000 | 4 | 3.99 | 0.01 |
| 1 000 000 | 4 | 3.99 | 0.01 |
| 1 000 000 000 | 4 | 3.99 | 0.01 |
Die Vermutung liegt nahe, daß sich die Differenz von unten her immer mehr dem Grenzwert annähert. Zur Überraschung der Fachwelt bewies der englische Mathematiker Littlewood im Jahre 19xx, daß die Differenz auch positv werden kann und die Annäherung um den eigentlichen Verlauf der Funktion Li(n) oszilliert.
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| Stand: 09.04.2003 / |
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