Verteilung

---

Primzahlzwillinge, -drillinge und -tetraden

Ganz interessant ist es, die Abstände benachbarter oder weiter voneinander entfernter Primzahlen zu untersuchen. Wir beschreiten hiermit das Gebiet der Primzahlverteilung.

Definition:		Primzahlzwillinge sind Primzahlen p1, p2 für die gilt: p2 - p1 = 2.
Beispiel:		41, 43

Es gibt auch andere Anordnungen von Primzahlen, wie z.B. diese:

Definition:		Eine Primzahltetrade besteht aus 4 aufeinanderfolgende Primzahlen p1, p2, p3, p4 für die gilt: p1 mod 10 = 1 p2 mod 10 = 3 p3 mod 10 = 7 p4 mod 10 = 9
Beispiel:		11, 13, 17, 19

Unvermittelt stößt man auf die offenbar ausgelassene Definition und denkt nach (oder auch nicht):

Frage:		wieviele Primzahldrillinge gibt es, also Grüppchen von drei Primzahlen p1, p2, p3, für die gilt: p2 - p1 = 2 und p3 - p2 = 2 ?
Beispiel:		3, 5, 7

...und andere Grüppchen

Tatsächlich ist bis heute die Frage unbeantwortet, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge bzw. -tetraden oder andere sinnvolle Gruppierungen von Abständen gibt. Von Littlewood stammen allerdings Sätze über die Häufigkeit von Primzahlzwillingen, die eine statistische Aussage über ihre Häufigkeit in Abhängigkeit von ihrer Größe macht.

Allgemein herrscht die Ansicht vor, daß es unendlich viele Primzahl-Gruppierungen einer bestimmten Struktur gibt.

 Abstände zwischen Primzahlen

Die Primzahlen werden "nach oben zu" immer seltener. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Wie groß kann der Abstand zwischen zwei Primzahlen werden? Gibt es eine Obergrenze?
Die Antwort läßt sich leicht geben:

Behauptung:		Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen kann beliebig groß werden.
Beweis:		Wir führen den Beweis konstruktiv. Gegeben sei eine natürliche Zahl n ³ 2. Für jedes m Î {2 ,.., n+1} gilt jetzt:      m teilt ((n+1)! + m) Wir konstruieren damit ein Zahlenintervall M der Länge n, das nur zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahl enthält. Setze      M := [(n+1)!+2, (n+1)!+(n+1)].

Bezogen auf eine bestimmte Zahl n gibt es aber auch striktere, einschränkende Aussagen... Dem ungarischen Weltbürger-Mathematiker Paul Erdös dichtete man folgendes Sprüchlein zur Ehr':

Tchebychev proved it and I proved it again: There is always a prime between n and 2n.

Diese flapsige Aussage ist in der Mathematik als prime number theorem oder als Primzahlsatz bekannt:

Satz:		ppp
Beweis:		ersparen wir uns wegen Schwierigkeit.
Historie:		Tschebyscheff, Hadamard, Erdös

  Nochmals die Funktion p

Wie ermittelt man p(n) für ein gegebenes n? Dumme Frage - durch Auszählen der Primzahlen bis einschließlich n. Das mag für kleine n ein gangbarer Weg sein. Für große n versagt dieses Verfahren. Meissel gab Ende des 19.Jhdts. ein Verfahren an, das sich in modifizierter Form auch heute noch bewährt:

xxx