Rahmenquadrate

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Magische Quadrate können basierend auf einem kleineren magischen Quadrat sukzessive konstruiert werden. Die hier beschriebenen Methoden haben sich vor allem bei Amateurmathematikern einer gewissen Beliebtheit erfreut.

Das Konstruktionsverfahren liefert überdies Quadrate mit einer interessanten zusätzlichen Eigenschaft. Das innere, um die mittlere Zelle (bzw. um das Mittel-Karree) gruppierte Quadrat der Kantenlänge, die um 2 kleiner als die des äußersten Quadrates ist, ist zwangsweise magisch. Begann die Konstruktion eines großen Quadraten ungeradzahliger Kantenlänge n z.B. mit dem Lo Shu, so haben alle inneren Quadrate der Kantenlängen n-2, n-4...3 die magische Eigenschaft.

Al Bistami

Im dreizehnten Jahrhundert verfaßte ein arabischer Mathematker namens al Bistami (auch al Buni) ein Werk Das Meer der Einsicht über die Wissenschaft der Buchstaben. Darin finden sich auch Rahmenquadrate, wie z.B. diese hier:

Die Methode von Frénicle

Eine Methode, gerade und ungerade magische Quadrate zu erzeugen, geht auf Bernard Frénicle de Bessy() zurück. Bei dieser Methode wird von der Kantenlänge des Zielquadrates ausgegangen. So entsteht z.B. ein 7´7-Quadrat aus einem 5´5-Quadrat:

Ausgangsquadrat		Resultierendes Quadrat

Begonnen wird von einem magischen Quadrat (gerade oder ungerade) der Kantenlänge n-2. Darauf basierend wird ein Rahmenquadrat der Kantenlänge n konstruiert:

• Ein leeres Quadratschema der Länge n wird angelegt
• Anschließend werden die Werte aller Zellen des Ursprungsquadrates um 2n-2 erhöht und in das mittlere n-2-Quadret des leeren Schemas geschrieben. Es verbleibt ein freier Rand der Breite 1.
• Die Zahlenwerte 1, 2,...2n-2 und n², n²-1, ... n²-2n-3 werden so in die leeren Randzellen eingetragen, daß die magische Bedingung erfüllt ist. Für die nneren Zeilen, Spalten und die Diagonalen wird dies erreicht, indem die jeweils komplementären Werte wie z.B. n und n² in jeweils gegenüberliegenden Randzellen (waagerecht, senkrecht, diagonal) liegen.
• Da die magische Bedingung erfüllt sein muß, werden die Wertepaare der Randzellen solange probeweise vertauscht, bis in den Randzeilen, Randspalten und den Diagonalen die magische Summe n(n²+1)/2 resultiert.

Was an dieser Verfahrensweise stört, ist der un-algorithmische Ansatz, der den Konstruktionserfolg von einer Versuch-und-Irrtum-Methode abhängig macht. Backtracking ist zwar eine nützliche Strategie, wird in der Informatik aber aus gutem Grund wo immer möglich vermieden. Ein Blick auf das Beispielquadrat zeigt, daß die Zahlenwerte in den Randfeldern nicht vollkommen unstrukturiert plaziert wurden.

Versuchen wir einen Ansatz, der strengeren algorithmischen Kriterien genügt - kurz: programmierbar ist.

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Ein vergleichbares Konstruktionsverfahren gibt Vagetius, De quadrato magico imparii (1695) an.

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