Mehr über das Lo Shu


Athansius Kircher:
Arithmologia 1665		    

Das Lo Shu ist das älteste bekannte Magische Quadrat. Trotz - oder gerade wegen - seiner Einfachheit enthält es eine überraschende Vielfalt mathematischer Eigenschaften.

Einer der Ersten, die im Westen das magische Quadrat der Ordnung 3 betrachteten, war Adam Riese. In seinem sprichwörtlichen Rechenbüchlin (1578) gibt er auf S.71 diese Aufgabe und Lösung:

    "Item/ einer gibt fürzusetzen zahlen/ die nach einander folgen/ wie hie/ daß uberall 15 werden. Wiltu solchs und dergleichen wissen/ so sprich allemal/ 15. gibt 5. in die mitte/ was gibt dann so viel du uberall haben wilt/ als hierinnen 15. kommen 5. die setz mitten/ und darnach fort/ also:
    Und darnach verwechsel mit den 8. und 2. also/ so hastu allenthalben 15."    

Adam Riese führt seine Aufgabe mit einem 3 ´ 3-Quadrat fort, dessen magische Summe auf 24 gebracht werden soll.

Eindeutigkeit des Lo Shu

 Behauptung      Es gibt nur ein echtes Magisches Quadrat der Kantenlänge 3.
 Beweis 1
 kombinatorisch 		     Die Konstante eines Magischen Quadrates der Kantenlänge 3 ist 15. Es gibt 8 Zahlentripel, die sich aus den Werten 1 bis 9 bilden lassen, deren Summe 15 ist. Die Reihenfolge der Aufschreibung innerhalb des jeweiligen Tripels ist zunächst ohne Bedeutung, da die Addition kommutativ ist und sich die Reihenfolge der Summanden aus den Anordnungsmöglichkeiten ergibt.

(1,6,8) (1,5,9) (2,6,7) (2,5,8)
(2,4,9) (3,5,7) (3,4,8) (4,5,6)

       
Das mittlere Feld ist
Summand in 4 Summen		     Jedes Eckfeld ist
Summand in 3 Summen		     Jedes Feld in der Seitenmitte
gehört 2 Summen an

Um ein magisches Quadrat der Kantenlänge 3 zu konstruieren, muß das Mittelfeld Summand in 4 Summen sein (waagerecht, senkrecht und zwei Diagonale). Die einzige Ziffer, die in den Zahlentripeln viermal vorkommt, ist die 5, die damit das Mittelfeld belegen muß.

Die Eckfelder müssen mit den Zahlen 2, 4, 6 und 8 belegt werden, da sie in den Zahlentripeln je drei mal vorkommen. Die erste Ecke kann beliebig belegt werden; die diagonal gegenüberliegende Ecke ergibt sich durch die Summenbedingung für die magische Konstante. Das gilt auch für die verbleibende Diagonale. Abgesehen von Drehungen und Spiegelungen gibt es nur eine Lösung. Die Position der verbleibenden 4 Zahlen folgt durch die Bedingung für die magische Konstante zwangsweise.
 Beweis 2
 arithmetisch 		     Kraitchik (Mathematical Recreations, S.146ff.) gibt einen arithmetischen Beweis für die Eindeutigkeit des Lo Shu. Ausgegangen wird von einem Quadratschema, das mit den Platzhaltern a bis i belegt wird:

a b c
d e f
g h i

Wenn man die mittlere Zeile, die mittlere Spalte und die beiden Diagonalen addiert, erhält man folgende Bedingung:

3e + (a + b + c + d + e + f + g + h + i) = 3e + 45 = 60

Aus dem letzten Teil der Gleichung ergibt sich e = 5. Für harmonisch liegende Felder folgt aus der magischen Bedingung, daß

a + i = b + h = c + g = d + f = 10

Nun wird untersucht, ob die 1 in einer Ecke liegen kann. Annahme: a = 1. Daraus folgt i = 9. Dies bedeutet aber auch, daß weder die 2, 3 oder 4 in derselben Zeile oder Spalte liegen können, wie die 1, da kein Wert mehr übrigbliebe, der groß genug ist, um die jeweilige Linie auf die magische Konstante 15 zu ergänzen. Auf diese Art blieben nur zwei Positionen für die drei genannten Zahlen, was zu einem Widerspruch führt. Deswegen muß die 1 auf einem Randfeld liegen. Man setze folglich b = 1 und damit zwangsweise h = 9.
Die 3 kann weder mit der 1 noch mit der 9 in einer Linie liegen, da entweder die Summe m nicht erreicht wird bzw. im Falle der 9 der zweite Summand ebenfalls 3 sein müßte. Aus diesen Gründen kann die 3 in keinem der Eckfelder liegen. Man setzt folglich z.B. d = 3 und f = 7. Die restlichen Belegungen folgen zwangsweise aus der magischen Bedingung.

Die Freiheit beim Festlegen der Positionen für 1 und 3 führt zu 8 Varianten des Quadrates, die abgesehen von Drehung und Spiegelung identisch sind.

 Yin und Yang

Aus dem fernen Osten stammt das Prinzip des Yin und Yang. Dies kann am Lo Shu angewendet werden. In der Zahlenmystik werden mit den Zahlen Bedeutungen und magische Prinzipien verbunden, so unter anderem:

Beide Prinzipien stehen im Widerstreit und ergänzen sich; eines allein ist ohne das andere nicht überlebensfähig. Färbt man die Felder im Lo Shu entsprechend, so ergibt sich ein kreuzförmiges Schema:

 Quadratsummen

Martin Gardners Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers enthält ein aufschlußreiches Kapitel zum Thema magische Quadrate. In The Return of Dr. Matrix begegnet Gardner dem längst totgeglaubten Numerologen und erfährt von ihm einige überraschende Eigenschaften des Lo Shu. So behauptet Dr. Matrix, die quadrierten Summen der Zeilen gleichen den quadrierten der umgekehrt gelesenen Zeilen. Tatsächlich gilt:

2762 + 9512 + 4382 = 6722 + 1592 + 4382 = 1172421

Dasselbe gilt für die Quadrate der Ziffernfolgen der Spalten und der Diagonalen, wobei auch die gebrochenen berücksichtigt werden müssen:

2942 + 7532 + 6182 = 4922 + 3572 + 8162 = 1035369
2582 + 7142 + 6932 = 8522 + 4172 + 3962 = 1056609
6542 + 7982 + 2132 = 4562 + 8972 + 3122 = 1109889

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Stand: 20.12.2006 /
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