Spezielle Primzahlen

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Primzahlen, die eine bestimmte "Form" haben, genießen traditionell ein besonderes Interesse. Die derzeit größten bekannten Primzahlen haben alle eine spezielle Bauart. So ist die Primzahleigenschaft besonders einfach bei Zahlen der 2ⁿ - 1 oder 2ⁿ + 1 zu prüfen.

Fermat-Primzahlen

Fermat-Primzahlen haben die Bauart 2ⁿ - 1. Derzeit sind folgende Fermat-Primzahlen bekannt:

n	1	2	3	4
2n - 1	1	3	5	15

Ob dies die einzigen sind, oder ob es unendlich viele Fermat-Primzahlen gibt, ist unbekannt. Die Fachmeinung geht allerdings dahin, daß diese Liste vollständig ist. Fermat-Primzahlen sind auf interessante Art mit der Geometrie verknüpft. Ein Satz besagt, daß die Grundkonstruktion eines regulären Vielecks mit primer Eckenzahl stets dann ausführbar ist, wenn die Eckenzahl eine Fermat-Primzahl ist. Deswegen kann zwar ein 17-Eck, nicht aber ein 27-Eck konstruiert werden. Die praktische Durchführung dieser Konstruktionen ist mit wachsender Eckenzahl ungemein aufwendig und nur von thoretischem Interesse. Die praktische Durchführbarkeit ist bei Eckenzahlen über 257 fraglich. Berühmt wurde der junge Carl Friedrich Gauss mit seiner Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks, die er 18xx publizierte:

***Bild***

Gauss war so stolz auf dieses Ergebnis, daß er sich wünschte, es möge auf seinem Grabstein wiedergegeben werden.Tatsächlich ist die Sockelplatte seines Grabes ein 17-Eck, und nicht etwa ein Kreis, wie es flüchtigen Betrachtern vorkommen mag.

Mersenne-Primzahlen

Mersenne-Primzahlen sind die berühmtesten, weil sie die derzeit größten bekannten sind. Sie haben die Bauart 2ⁿ + 1. Mersenne fand die folgenden:

n	1	2	3	4
2n + 1	3	5	9	17

Wie wird geprüft, ob eine Zahl Mersenne-Zahl ist? Der nachstehende Satz gibt den Schlüssel:

Satz:		ccc
Beweis:		ccc

siehe dazu auch: Riesel[Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, S.xxxff]

Primzahlen der Form p = 4ⁿ + 1

ccc

Hier begegnet uns das Damenproblem wieder. Da bewiesen ist, daß xxx, folgt auch, daß p Damen so auf ein Schachbrett gestellt werden können, daß sie drehsymmetrisch zum mittleren Feld angeordnet sind, wobei p = 4ⁿ + 1. Vgl. Gardner [Geometrie mit Taxis, S.yyy]. Eine Dame steht folglich auf dem Mittelfeld. Jeder Quadrant des Feldes wird mit n Damen besetz, wobei die Figuren nach einem Rösselsprungschema aufgestellt werden.